Взаимно простые многочлены и их свойства

Многочлены $f$ и $g$ называются **взаимно простыми**, если их НОД равен $1$: $$\operatorname{НОД}(f, g) = 1$$

Пусть $f, g, h \in F[x]$ и $f$ и $g$ взаимно просты, тогда: 1. $f \mid h ~\land~ g \mid h \implies (fg) \mid h$ 2. $f \mid (gh) \implies f \mid h$

Так как $f$ и $g$ взаимно просты, то $\operatorname{НОД}(f, g) = 1$, а значит $uf + vg = 1$ **Свойство 1** Из делимости: $h=fp_1,~ h=gp_2$. Тогда: $$h = h(uf+vg) = (gp_2)uf + (fp_1)vg = fg(p_2u+p_1v) \implies (fg) \mid h$$ **Свойство 2** Из делимости: $gh=fp_3$. Тогда: $$h = h(uf+vg) = huf + v(gh) = huf + v(fp_3) = f(hu+vp_3) \implies f \mid h$$ $\square$